ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 407]      



Задача 107630

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Ориентированные графы ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

По кругу записаны семь натуральных чисел. Известно, что в каждой паре соседних чисел одно делится на другое.
Докажите, что найдётся пара и не соседних чисел с таким же свойством.

Решение

Соединим пары соседних чисел так, чтобы стрелка шла от кратного (так называется число, которое делится на делитель) к делителю (если соседние числа равны, то направление стрелки выбираем произвольно). Общее количество стрелок нечётно (7), поэтому их направления не могут чередоваться. Следовательно, какие-то две соседние стрелки направлены в одну сторону:  xyz.  Это означает, что x делится на y, а y делится на z. Отсюда следует, что x делится на z.

Прислать комментарий

Задача 107778

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то получится число, делящееся на 19.

Решение

Пусть  n = 1203...308  – одно из таких чисел. Тогда  3n + 5·19 = 3610…019.  Это число делится на 19, так как  361 = 19².  Значит, и исходное число делится на 19.

Прислать комментарий

Задача 107846

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Можно ли найти восемь таких натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на какое другое, но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из остальных?

Решение

См. задачу 98383.

Прислать комментарий

Задача 109158

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Делится ли многочлен  1 + x4 + x8 + ... + x4k  на многочлен  1 + x² + x4 + ... + x2k?

Решение

  Если  k + 1  нечётно, числитель делится на знаменатель, а если
k + 1 = 2n,  при делении получается остаток 2, поскольку  x²(k+1) – 1 = x4n – 1  делится на  x4 – 1,  а значит, и на  x² + 1.

Ответ

При чётном k делится, а при нечётном – нет.

Прислать комментарий

Задача 116209

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Текстовые задачи (прочее) ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Пётр родился в XIX веке, а его брат Павел – в XX веке. Однажды братья встретились на праздновании своего общего дня рождения. Пётр сказал: "Мой возраст равен сумме цифр года моего рождения". – "Мой тоже", – ответил Павел. На сколько лет Павел младше Петра?

Решение

  Пусть Пётр и Павел родились в  18xy  и  19uv  году соответственно. Во время их встречи Петру и Павлу было  1 + 8 + x + y  и  1 + 9 + u + v  лет соответственно. Определим двумя способами год, в котором произошла встреча. Поскольку возраст Петра на тот момент был равен сумме цифр его года рождения, встреча произошла в  1800 + 10x + y + 9 + x + y  году. С другой стороны, и возраст Павла был равен сумме цифр его года рождения, а значит, встреча произошла в  1900 + 10u + v + 10 + u + v  году. Итак,  1800 + 10x + y + 9 + x + y = 1900 + 10u + v + 10 + u + v.
  После упрощений уравнение преобразуется к виду  11(x – u) + 2(y – v) = 101. Перепишем его в виде  11(x – u) + 2(y – v – 1) = 99.
  Отсюда видно, что  y – v – 1  делится на 11. Так как  –9 ≤ y – v ≤ 9,  то  y – v = 1.  Следовательно,  x – u = 9.  Павел старше Петра на
1900 + 10u + v – 1800 – 10x – y = 100 – 10(x – u) – (y – v) = 100 – 90 – 1 = 9 лет.
  Надо разобрать ещё два случая: Пётр мог родиться в 1900 году (который тоже относится к XIX веку), или Павел в 2000 году. В первом случае встреча состоялась бы в 1910 году, значит, Павел родился не раньше 1901 и не позже 1910 года, и ему по условию задачи в момент встречи не могло быть меньше 11 лет. Противоречие.
  Во втором случае встреча состоялась бы в 2002 году, и Петру на тот момент было бы не меньше 102 лет, чего также не может быть, так как сумма цифр любого целого числа от 1801 до 1900 не больше 27.

Ответ

На 9 лет.

Прислать комментарий

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 407]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .