Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 417]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107735

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.

Решение

У чисел 2, 5, 9 и 11 нет общих делителей, поэтому если число делится на каждое из них, то оно делится и на их произведение. То есть искомое число делится на  2·5·9·11 = 990.  Выпишем все четырёхзначные числа, которые делятся на 990: 1980, 2970, 3960, 4950, 5940, 6930, 7920, 8910, 9900. Наибольшее из них равно 9900, но у него есть совпадающие цифры. А наибольшее, у которого все цифры различны – это 8910.

Ответ

8910.

Прислать комментарий

---

Задача 109456

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8,9

Существует ли натуральное число, кратное 2007, сумма цифр которого равна 2007?

Решение

Заметим, что  2007 = 3²·223.  Поэтому число 200720072007...2007 (число 2007 повторяется 223 раза) удовлетворяет условию задачи.

Ответ

Существует.

Прислать комментарий

---

Задача 116450

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Делится ли число  21¹⁰ – 1  на 2200?

Решение

  Первый способ.
    21¹⁰ – 1 = (21⁵ – 1)(21⁵ + 1) = (21 – 1)(21⁴ + 21³ + 21² + 21 + 1)(21 + 1)(21⁴ – 21³ + 21² – 21 + 1) =
= 20·22·(21⁴ + 21³ + 21² + 21 + 1)(21⁴ – 21³ + 21² – 21 + 1).
  Заметим, что сумма  21⁴ + 21³ + 21² + 21 + 1  делится на 5, так как она оканчивается цифрой 5. Следовательно, полученное произведение делится на  22·20·5 = 2200.

  Второй способ.  2200 = 8·25·11.  Достаточно доказать, что  21¹⁰ – 1  делится на 11, 8 и 25.
     21¹⁰ – 1 ≡ (–1)¹⁰ – 1 = 0 (mod 11).
     21¹⁰ – 1 ≡ (–3)¹⁰ – 1 = 9⁵ – 1 ≡ 1⁵ – 1 = 0 (mod 8).
     21¹⁰ – 1 ≡ (–4)¹⁰ – 1 = 2²⁰ – 1 = 1024² – 1 ≡ (–1)² – 1 = 0 (mod 25).

Ответ

Да.

Прислать комментарий

---

Задача 30368

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3- Классы: 6,7,8

Целые числа a и b таковы, что  56a = 65b.  Докажите, что   a + b  – составное число.

Подсказка

Выразите  a + b  через a.

Решение

65(a + b) = 65a + 65b = 65a + 56a = 121a.  Так как числа 65 и 121 взаимно просты, то  a + b  делится на 121. Поскольку 121 – составное число, то и  a + b  – составное.

Прислать комментарий

---

Задача 35510

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Линейная и полилинейная алгебра ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Известно, что выражение  14x + 13y  делится на 11 при некоторых целых x и y. Докажите, что  19x + 9y  также делится на 11 при таких x и y.

Решение

19x + 9y = 11(3x + 2y) – (14x + 13y).

Прислать комментарий

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 417]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями