ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 215]      



Задача 109019

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Из таблицы

выбраны a чисел так, что никакие два из выбранных чисел не стоят в одной строке или в одном столбце таблицы. Вычислить сумму выбранных чисел.

Решение

Представим нашу таблицу как сумму двух таблиц:

Выбранные числа также "распадутся" в суммы соответствующих чисел в этих двух таблицах. При этом в первой таблице сумма соответствующих чисел равна  0 + a + 2a + ... +(a – 1)a = ½ a²(a – 1)  (так как числа расположены по одному в каждой строке), а во второй –  1 + 2 + ... + a = ½ a(a + 1)  (так как числа расположены по одному в каждом столбце). Общая же сумма равна  ½ a²(a – 1) + ½ a(a + 1) = ½ a(a² + 1).

Ответ

½ a(a² + 1).

Прислать комментарий

Задача 110106

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Четность и нечетность ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Можно ли все клетки таблицы 9×2002 заполнить натуральными числами так, чтобы суммы чисел в каждом столбце и суммы чисел в каждой строке были бы простыми числами?

Решение

Предположим, что мы сумели расставить числа требуемым образом. Тогда сумма чисел в каждом столбце (каждой строке) больше 2. Поэтому все соответствующие суммы нечётны, так как они простые и больше 2. Следовательно, сумма всех чисел в таблице с одной стороны равна сумме девяти нечётных чисел, то есть нечётна, а с другой стороны, она равна сумме 2002 нечётных чисел, то есть чётна. Противоречие.

Ответ

Нельзя.

Прислать комментарий

Задача 110161

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Признаки делимости на 11 ]
[ Шахматная раскраска ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В клетки таблицы 100×100 записаны ненулевые цифры. Оказалось, что все 100 стозначных чисел, записанных по горизонтали, делятся на 11. Могло ли так оказаться, что ровно 99 стозначных чисел, записанных по вертикали, также делятся на 11?

Решение

  Предположим, что требуемая расстановка цифр возможна.
  Рассмотрим шахматную раскраску клеток нашей таблицы. Согласно признаку делимости на 11 в каждой строке сумма цифр, стоящих на чёрных клетках, имеет тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на белых клетках. Значит, и во всей таблице сумма цифр, стоящих на чёрных клетках, имеет тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на белых клетках.
  Рассмотрим теперь 99 столбцов, в которых получились делящиеся на 11 числа. Для клеток этих столбцов аналогично получаем, что сумма цифр, стоящих на чёрных клетках, имеет тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на белых клетках.
  Но тогда и в оставшемся столбце сумма цифр, стоящих на чёрных клетках, имеет тот же остаток при делении на 11, что и сумма цифр, стоящих на белых клетках. Следовательно, это число кратно 11.

Ответ

Не могло.

Прислать комментарий

Задача 115972

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Можно ли в клетках таблицы 19×19 отметить несколько клеток так, чтобы во всех квадратах 10×10 было разное количество отмеченных клеток?

Решение

Отметим все клетки верхних девяти полос, а в центральной полосе отметим центральную клетку и все клетки слева от нее. Тогда в десяти самых нижних квадратах 10×10 будет отмечено от 1 до 10 клеток. Сдвигая квадрат на одну полосу вверх, мы выкидываем из него полосу неотмеченных клеток и добавляем полосу отмеченных клеток, увеличивая количество отмеченных клеток в нем на 10. Следовательно, в следующих снизу квадратах будет отмечено от 11 до 20 клеток, ..., а в самых верхних – от 91 до 100 клеток.

Ответ

Можно.

Прислать комментарий

Задача 116059

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7

Числа от 1 до 16 расставлены в таблице 4×4. В каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали (включая диагонали из одной клетки) отметили самое большое из стоящих в ней чисел (одно число может быть отмечено несколько раз). Могли ли оказаться отмечены
  а) все числа, кроме, быть может, двух?
  б) все числа, кроме, быть может, одного?
  в) все числа?

Решение

  Числа в углах будут отмечены в любом случае – это числа, стоящие на диагоналях длины 1. Среди остальных чисел есть хотя бы одно неотмеченное. Действительно, рассмотрим наименьшее из чисел, не стоящих в углах. Оно не отмечено, так как на каждой линии вместе с ним есть и другие "неугловые" числа. Значит, все числа отмечены быть не могут.
  На рисунке приведён пример таблицы, в которой будут отмечены все числа, кроме одного.

Ответ

а), б) Могли;   в) не могли.

Прислать комментарий

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 215]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .