ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 215]
Из таблицы выбраны a чисел так, что никакие два из выбранных чисел не стоят в одной строке или в одном столбце таблицы. Вычислить сумму выбранных чисел.РешениеПредставим нашу таблицу как сумму двух таблиц: Выбранные числа также "распадутся" в суммы соответствующих чисел в этих двух таблицах. При этом в первой таблице сумма соответствующих чисел равна 0 + a + 2a + ... +(a – 1)a = ½ a²(a – 1) (так как числа расположены по одному в каждой строке), а во второй – 1 + 2 + ... + a = ½ a(a + 1) (так как числа расположены по одному в каждом столбце). Общая же сумма равна ½ a²(a – 1) + ½ a(a + 1) = ½ a(a² + 1).Ответ½ a(a² + 1).
Можно ли все клетки таблицы 9×2002 заполнить натуральными числами так, чтобы суммы чисел в каждом столбце и суммы чисел в каждой строке были бы простыми числами? РешениеПредположим, что мы сумели расставить числа требуемым образом. Тогда сумма чисел в каждом столбце (каждой строке) больше 2. Поэтому все соответствующие суммы нечётны, так как они простые и больше 2. Следовательно, сумма всех чисел в таблице с одной стороны равна сумме девяти нечётных чисел, то есть нечётна, а с другой стороны, она равна сумме 2002 нечётных чисел, то есть чётна. Противоречие. ОтветНельзя.
В клетки таблицы 100×100 записаны ненулевые цифры. Оказалось, что все 100 стозначных чисел, записанных по горизонтали, делятся на 11. Могло ли так оказаться, что ровно 99 стозначных чисел, записанных по вертикали, также делятся на 11? Решение Предположим, что требуемая расстановка цифр возможна. ОтветНе могло.
Можно ли в клетках таблицы 19×19 отметить несколько клеток так, чтобы во всех квадратах 10×10 было разное количество отмеченных клеток? РешениеОтметим все клетки верхних девяти полос, а в центральной полосе отметим центральную клетку и все клетки слева от нее. Тогда в десяти самых нижних квадратах 10×10 будет отмечено от 1 до 10 клеток. Сдвигая квадрат на одну полосу вверх, мы выкидываем из него полосу неотмеченных клеток и добавляем полосу отмеченных клеток, увеличивая количество отмеченных клеток в нем на 10. Следовательно, в следующих снизу квадратах будет отмечено от 11 до 20 клеток, ..., а в самых верхних – от 91 до 100 клеток. ОтветМожно.
Числа от 1 до 16 расставлены в таблице 4×4. В каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали (включая диагонали из одной клетки) отметили самое большое из стоящих в ней чисел (одно число может быть отмечено несколько раз).
Могли ли оказаться отмечены Решение Числа в углах будут отмечены в любом случае – это числа, стоящие на диагоналях длины 1. Среди остальных чисел есть хотя бы одно неотмеченное. Действительно, рассмотрим наименьшее из чисел, не стоящих в углах. Оно не отмечено, так как на каждой линии вместе с ним есть и другие "неугловые"
числа. Значит, все числа отмечены быть не могут. Ответа), б) Могли; в) не могли.
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 215] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|