ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]      



Задача 73560

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Правило произведения ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

В множестве, состоящем из n элементов, выбрано 2n–1 подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент.
Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.
Прислать комментарий     Решение


Задача 98237

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Круг, сектор, сегмент и проч. ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Задачи с ограничениями ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Фигура Ф представляет собой пересечение n кругов  (n ≥ 2,  радиусы не обязательно одинаковы). Какое максимальное число криволинейных "сторон" может иметь фигура Ф?  (Криволинейная сторона – это участок границы Ф, принадлежащий одной из окружностей и ограниченный точками пересечения с другими окружностями.)

Прислать комментарий     Решение


Задача 111772

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

При каком наименьшем n для любого набора A из 2007 множеств найдется такой набор B из n множеств, что каждое множество набора A является пересечением двух различных множеств набора B ?
Прислать комментарий     Решение


Задача 116648

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109671

Темы:   [ Объединение, пересечение и разность множеств ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Часть подмножеств некоторого конечного множества выделена. Каждое выделенное подмножество состоит в точности из 2k элементов ( k – фиксированное натуральное число). Известно, что в каждом подмножестве, состоящем не более чем из (k+1)2 элементов, либо не содержится ни одного выделенного подмножества, либо все в нем содержащиеся выделенные подмножества имеют общий элемент. Докажите, что все выделенные подмножества имеют общий элемент.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 50]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .