Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 77]

Задача 105182

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Блинков А.Д.

Существует ли тетраэдр, все грани которого — равные прямоугольные треугольники?

Решение

Предположим, что такой тетраэдр ABCD существует (см. рис.). Пусть AB – гипотенуза треугольника ABC. Тогда AB является также и гипотенузой треугольника ABD.

Следовательно, CD – гипотенуза треугольников ACD и BCD. Середину ребра CD обозначим через M. Так как треугольники ACD и BCD прямоугольные,
AM = BM = ½ CD = ½ AB, то есть AB = AM + MB.
Значит, точки A, M и B лежат на одной прямой, а точки A, B, C и D – в одной плоскости. Противоречие.

Ответ

Не существует.

Прислать комментарий

Задача 107741

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Существует ли тетраэдр, все грани которого — равнобедренные треугольники, причём никакие два из них не равны?

Решение

Допустим, такой тетраэдр ABCD существует. Заметим сначала, что из одной вершины не может выходить три равных ребра. Действительно, если АВ = АС = AD, то, так как среди отрезков ВС, BD и CD есть хотя бы два равных {ABCD — равнобедренный), то среди треугольников ABC, ABD, ACD есть хотя бы два равных.

Далее заметим, что две соседние грани — равнобедренные треугольники, не могут иметь общее основание¹. Действительно, если АВ = АС и DB = DC, то треугольники ADB и ADC равны.
Теперь заметим, что ни один из треугольников не может быть равносторонним. Действительно, если АВ = ВС = АС, то хотя бы одно из рёбер АВ, ВС, АС является основанием в обоих содержащих его треугольниках (почему?).
Далее, без ограничения общности можно считать, что АВ = АС, ВС = BD. Тогда, так как AD ≠ АВ, то AD = BD. Аналогично, DC = АВ. Следовательно, треугольники ABC и ACD равны.
Следовательно, такого тетраэдра не существует.
¹ Сторону треугольника будем называть основанием в случае, если две другие стороны этого треугольника равны между собой; у равностороннего треугольника все стороны называются основаниями.

Ответ

Нет, не существует.

Прислать комментарий

Задача 116916

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее)	]
	[	Сферы (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Ясинский В.

Дан тетраэдр ABCD. Точка X выбрана вне тетраэдра так, что отрезок XD пересекает грань ABC во внутренней точке. Обозначим через A', B', C' проекции точки D на плоскости XBC, XCA, XAB соответственно. Докажите, что A'B' + B'C' + C'A' < DA + DB + DC.

Решение

Поскольку DA' ⊥ (XBC), то ∠DA'C = 90°, аналогично ∠DB'C = 90° (см. рис.). Значит, точки A' и B' лежат на сфере с диаметром DC, поэтому расстояние между ними не превосходит этого диаметра: A'B' < DC. Аналогично A'C' < DB и B'C' < DA. Складывая эти три неравенства, получаем требуемое.

Прислать комментарий

Задача 76422

Тема:

[

Тетраэдр (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Высота усечённого конуса равна радиусу его большего основания; периметр правильного шестиугольника, описанного около меньшего основания, равен периметру равностороннего треугольника, вписанного в большее основание. Определить угол наклона образующей конуса к плоскости основания.

Решение

Пусть R — радиус окружности большего основания, r — радиус окружности меньшего основания. Периметр правильного шестиугольника, описанного около меньшего основания, равен ${\frac{12r}{\sqrt{3}}}$ . Периметр правильного шестиугольника, вписанного в большее основание, равен 3R $\sqrt{3}$ . По условию ${\frac{12r}{\sqrt{3}}}$ = 3R $\sqrt{3}$ , т.е. r = ${\frac{3}{4}}$ R. Если $\varphi$ — искомый угол наклона, то tg $\varphi$ = ${\frac{R}{R-r}}$ = 4.

Прислать комментарий

Задача 76425

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
Темы:	[	Свойства разверток	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Развертка боковой поверхности конуса представляет сектор с углом в 120^o; в конус вписана треугольная пирамида, углы основания которой составляют арифметическую прогрессию с разностью 15^o. Определить угол наклона к плоскости основания наименьшей из боковых граней.

Решение

Пусть l — длина образующей конуса. Длина окружности основания равна длине дуги развёртки, поэтому радиус окружности основания равен l /3. Учитывая, что сумма углов любого треугольника равна 180^o, получаем, что основание пирамиды — треугольник ABC с углами 45^o, 60^o, 75^o. Пусть BC — меньшая сторона, O — центр описанной окружности треугольника ABC. Тогда $\angle$ BOC = 2^.45^o = 90^o, поэтому BOC — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами l /3. Значит, BC = l $\sqrt{2}$ /3. Пусть D — середина отрезка BC, S — вершина конуса. Тогда OD = ${\frac{l}{3\sqrt{2}}}$ и SD = $\sqrt{SB^2-DB^2}$ = $\sqrt{l^2-\frac{l^2}{18}}$ = ${\frac{l\sqrt{17}}{3\sqrt{2}}}$ . Если $\varphi$ — искомый угол, то cos $\varphi$ = ${\frac{OD}{SD}}$ = ${\frac{1}{\sqrt{17}}}$ .

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 77]