Каталог по темам

Задачи

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 499]

Задача 109695

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10

Автор: Голованов А.С.

Сумма цифр в десятичной записи натурального числа n равна 100, а сумма цифр числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр числа 3n ?

Решение

Заметим, что 44n есть сумма 4 экземпляров числа n и 4 экземпляров числа 10n .
Если складывать эти числа поразрядно, то в каждом разряде окажется сумма учетверенной цифры из этого же разряда числа n и учетверенной цифры из следующего разряда. Если при этом не происходит никаких переносов, то каждая цифра числа n складывается 8 раз, и сумма цифр во всех разрядах оказывается равной 800. При переносах же сумма цифр, очевидно, уменьшается (так как из одного разряда вычитается 10, а к другому прибавляется только 1). Поэтому в ситуации условия задачи переносов не происходит. Это означает, в частности, что любая цифра числа n не превосходит 2. Тогда при умножении n на 3 просто умножается на 3 каждая его цифра, а, значит, и сумма цифр.
Поэтому сумма цифр числа 3n равна 300.

Ответ

300.00

Прислать комментарий

Задача 79459

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 10

Существует ли три ненулевые цифры, с помощью которых можно составить бесконечное число десятичных записей квадратов различных целых чисел?

Решение

Ответ: да, существуют. Например, подходят цифры 1, 5, 6. Действительно, докажем, что $\underbrace{3\dots3}_{{\rm $n$\ троек}}^{}\,$ = $\underbrace{1\dots1}_{{\rm $n+1$\ единица}}^{}\,$ . Заметим для этого, что $\underbrace{3\dots3}_{{\rm $n$\ троек}}^{}\,$ · 3 = $\underbrace{0\dots0}_{{\rm $n$\ нулей}}^{}\,$ . Воспользовавшись тождеством n² = 1 + (n − 1)(n + 1), получим

= 1 +

· 3 ·

= 1 +

Прислать комментарий

Задача 105056

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Осьмова Е.Н.

Найдите все такие целые положительные k, что число
1...12...2-2...2
является квадратом целого числа.
(В первом слагаемом (уменьшаемом) всего 2000 цифр, из которых на последних местах стоят цифры "2" в количестве k штук, а остальные цифры - "1";
второе слагаемое (вычитаемое) состоит из 1001 поряд стоящих цифр "2")

Решение

Ответ: k=2.

Обозначим n=1000. Имеем два случая:

1) k>1000. Тогда

       k                       k-(n+1)
      —                        —
     /   \             n+1      /   \
1...12...2 - 2...2 = 10   *1...12...2
\        /   \   /         \   /
 —     —           —
    2n        n+1           2n-k

Очевидно, что это число не является квадратом натурального: n четно, поэтому в разложение числа входит нечетное число пятерок.

2) k < 1000. Тогда

       k
      —
     /   \                                     k
1...12...2-2...2 = 1...10...0 - 2...20...0 = 10  (1...1-2...2)
\        / \   /   \   /\   /   \   /\   /        \   / \   /
 —   —     —  —     —  —          —   —
    n2      n+1    2n-k   k     n+1-k  k          2n-k   n+1-k

Получили: k=2l, и достаточно найти все такие l<n, что число

A = 1...1 - 2...2   -
    \   /   \   /
     —     —
    2n-2l  n+1-2l

полный квадрат. Заметим, что число x является полным квадратом в точности тогда, когда и 9x. Имеем:

9A = 9...9 - 19...98 = 9...980...01
     \   /    \   /    \   / \   /
      —      —      —   —
     2n-2l    n-2l      n-2   n-2l

"Близкий" к числу 9A полный квадрат - число B=(10^n-l)² . Очевидно, B>9A. Очевидно также, что при Y>Z будет Y²-Z² > Y² - (Y-1)² = 2Y-1. А теперь найдем разность B-9A:

           2n-2l                                 n-2l+1
B - 9A = 10      - 9 9...980...01 = 19...9 = 2*10       - 1
                     \   / \   /     \   /
                      —   —       —
                      n-2   n-2l     n-2l+1

Ясно, что 2*10^n-2l+1-1 < 2*10^n-l-1, причем равенство имеет место в точности при l=1, откуда сразу и получается ответ задачи.

Прислать комментарий

Задача 111336

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Горбачев А.Н.

Назовём усложнением числа приписывание к нему одной цифры в начало, в конец или между любыми двумя его цифрами. Существует ли натуральное число, из которого невозможно получить полный квадрат с помощью ста усложнений?

Решение

Докажем, что среди 500-значных чисел найдётся искомое. Если 500-значное число усложнить 100 раз, получится 600-значное число. Существует менее 7·10²⁹⁹ 600-значных полных квадратов ((3·10²⁹⁹)² < 10⁵⁹⁹). Зафиксируем k – один из этих квадратов. Количество чисел, из которых его можно получить описанной в условии операцией, не превосходит количества способов зачеркнуть в нем 100 цифр, то есть Таким образом, общее количество 500-значных чисел, из которых может быть получен полный квадрат, не превосходит 7·10²⁹⁹·2⁶⁰⁰ < 7·10²⁹⁹·8²⁰⁰ < 9·10⁴⁴⁹, то есть меньше количества 500-значных чисел.

Ответ

Существует.

Прислать комментарий

Задача 78631

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Рассматриваются всевозможные n-значные числа, составленные из цифр 1, 2 и 3. В конце каждого из этих чисел приписывается цифра 1, 2 или 3 так, что к двум числам, у которых во всех разрядах стоят разные цифры, приписываются разные цифры. Доказать, что найдется n-значное число, в записи которого участвует лишь одна единица и к которому приписывается единица.

Решение

Докажем, что есть два числа, различающиеся лишь одной цифрой, к которым приписываются разные цифры. Действительно, предположим, что к любым двум числам, различающимся лишь одной цифрой, приписываются одинаковые цифры. Тогда по индукции доказывается, что к любым двум числам, различающимся k цифрами, приписываются одинаковые цифры. Для k=n получаем противоречие с условием. Значит, есть два числа X=a₁a₂..a_k-1xa_k+1..a_n и Y=a₁a₂..a_k-1ya_k+1..a_n , различающиеся только одной цифрой, к которым приписываются разные цифры p и q . Докажем теперь, что к каждому числу, у которого k -я цифра равна x , приписывается цифра p , а к любому числу, у которого k -я цифра равна y , приписывается q , а к остальным числам приписывается цифра r , отличная от p и q . Действительно, пусть, например, нам дано число Z=b₁b₂..b_k-1x b_k+1..b_n . Пусть цифра z отлична от p и q , а цифра c_i отлична от a_i и b_i , 1 z, c_i 3 . Рассмотрим число T=c₁c₂..c_k-1zc_k+1..c_n . Оно отличается от X и Y во всех разрядах, поэтому к нему приписывается цифра r . Число Z отличеается во всех разрядах от Y и T , поэтому к нему приписывается цифра p . Аналогично рассматриваются случаи, когда k -я цифра данного числа равна y или z . Из доказанного правила приписывания цифр очевидно следует утверждение задачи.

Прислать комментарий

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 499]