ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 105156

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Существуют ли такие натуральные числа a, b и c, что у каждого из уравнений  ax² + bx + c = 0,  ax + bx – c = 0,  ax² – bx + c = 0,  ax² – bx – c = 0  оба корня – целые?

Прислать комментарий     Решение

Задача 105157

Темы:   [ Подсчет двумя способами ]
[ Четность и нечетность ]
[ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

По рёбрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечётным числом сторон нечётно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105158

Темы:   [ Итерации ]
[ Многочлены (прочее) ]
[ Предел функции ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть P(x) – многочлен со старшим коэффициентом 1, а последовательность целых чисел  a1, a2, ...  такова, что  P(a1)= 0,  P(a2) = a1P(a3) = a2  и т. д. Числа в последовательности не повторяются. Какую степень может иметь P(x)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 105160

Темы:   [ Обход графов ]
[ Ориентированные графы ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним путём, не проходящим два раза через один и тот же город. Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два города из одной губернии.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105161

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Итерации ]
[ Обратные тригонометрические функции ]
[ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Дана бесконечная последовательность многочленов P1(x), P2(x), ... . Всегда ли существует конечный набор функций  f1(x),  f2(x), ...,  fN(x), композициями которых можно записать любой из них (например,  P1(x) =  f2(f1(f2(x))))?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .