ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      



Задача 78787

Темы:   [ Целочисленные решетки ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Имеется сетка, состоящая из квадратов размером 1×1. Каждый её узел покрашен в один из четырёх данных цветов так, что вершины любого квадрата 1×1 покрашены в разные цвета. Доказать, что найдётся прямая, принадлежащая сетке, такая, что узлы, лежащие на ней, покрашены в два цвета.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78786

Тема:   [ Процессы и операции ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?
Прислать комментарий     Решение


Задача 78789

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Дано 29-значное число  X = a1...a29  (0 ≤ ak ≤ 9,  a1 ≠ 0).  Известно, что для всякого k цифра ak встречается в записи данного числа a30–k раз (например, если  a10 = 7,  то цифра a20 встречается семь раз). Найти сумму цифр числа X.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78783

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Лежит кучка в 10 миллионов спичек. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может взять из кучки спички в количестве pn, где p – простое число,  n = 0, 1, 2, 3, ...  (например, первый берёт 25 спичек, второй – 8, первый – 1, второй – 5, первый – 49 и т.д.). Выигрывает тот, кто берёт последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

Прислать комментарий     Решение

Задача 78798

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательные проекции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .