Страница:
<< 1 2 [Всего задач: 10]
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
В каждой вершине выпуклого 100-угольника написано по два различных числа.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждой вершине так,
чтобы оставшиеся числа в каждых двух соседних вершинах были различными.
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
На доске выписаны в ряд n положительных чисел a1, a2, ..., an. Вася хочет выписать под каждым числом ai число bi ≥ ai так, чтобы для каждых двух из чисел b1, b2, ..., bn отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство b1b2...bn ≤ 2(n–1)/2a1a2...an.
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, для которых числитель несократимой дроби, равной 1 + ½ + ... + 1/n, не является степенью простого числа с натуральным показателем.
|
|
Сложность: 5- Классы: 10,11
|
Для натурального n обозначим Sn = 1! + 2! + ... + n!. Докажите, что при некотором n у числа Sn есть простой делитель, больший 102012.
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
На прямой сидит конечное число лягушек в различных целых точках. За ход ровно одна лягушка прыгает на 1 вправо, причём они по-прежнему должны быть в различных точках. Мы вычислили, сколькими способами лягушки могут сделать n ходов (для некоторого начального расположения лягушек). Докажите, что если бы мы разрешили тем же лягушкам прыгать влево, запретив прыгать вправо, то способов сделать n ходов было бы столько же.
Страница:
<< 1 2 [Всего задач: 10]