Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: 1 [Всего задач: 4]

Задача 65459

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Бакаев Е.В., Зимин А.

Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC и прямоугольный треугольник ABD с общей гипотенузой AB (D и C лежат по одну сторону от прямой AB). Пусть DK – биссектриса треугольника ABD. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ACK лежит на прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65716

Темы:	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Зимин А.

В остроугольном треугольнике ABC угол C равен 60°, H – точка пересечения высот. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает прямые CA и CB в точках M и N соответственно. Докажите, что прямые AN и BM параллельны (или совпадают).

Прислать комментарий

Решение

Задача 66839

Темы:	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Гладков Н., Зимин А.

Куб, состоящий из $(2n)^3$ единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба. Каждая спица протыкает ровно 2$n$ кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
а) Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66661

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Преобразования плоскости (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Зимин А.

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Вписанная окружность касается его сторон $AB$, $AC$ и $BC$ в точках $D$, $E$, $F$ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны $BC$ в точке $N$. Пусть $T$ – ближайшая к $N$ точка пересечения прямой $AN$ с вписанной окружностью, а $K$ – точка пересечения прямых $DE$ и $FT$. Докажите, что $AK||BC$.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]