Страница: 1 [Всего задач: 3]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65405

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Звенья AB, BC и CD ломаной ABCD равны по длине и касаются некоторой окружности.
Доказать, что точка K касания этой окружности со звеном BC, её центр O и точка пересечения прямых AC и BD лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65165

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Неопределено ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Две окружности пересекаются в точках A и B. Их общая касательная (та, которая ближе к точке B) касается окружностей в точках E и F. Прямая AB пересекает прямую EF в точке M. На продолжении AM за точку M выбрана точка K так, что  KM = MA.  Прямая KE вторично пересекает окружность, содержащую точку E, в точке C. Прямая KF вторично пересекает окружность, содержащую точку F, в точке D. Докажите, что точки C, D и A лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107862

Темы:   [ Задачи с ограничениями ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Обратный ход ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Правило произведения ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Натуральные числа от 1 до n расставляются в ряд в произвольном порядке. Расстановка называется плохой, если в ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих в порядке убывания. Остальные расстановки называются хорошими. Докажите, что количество хороших расстановок не превосходит 81ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 3]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями