ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Берлов С.Л.

Сергей Львович Берлов - преподаватель физико-математического лицея 239 города Санкт-Петербурга, кандидат физико-математических наук, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике, серебряный призер Международной математической олимпиады 1988 г.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 118]      



Задача 65092

Тема:   [ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что для любого натурального числа  n > 1  найдутся такие натуральные числа a, b, c, d, что  a + b = c + d = ab – cd = 4n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65239

Темы:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке.
Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65250

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Числа a и b таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов  x² + ax + b  и  x² + bx + a  имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65254

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Бессмертная блоха прыгает по целым точкам на числовой прямой, стартуя с точки 0. Длина первого прыжка равна 3, второго – 5, третьего – 9, и так далее (длина k-го прыжка равна  2k + 1).  Направление прыжка (вправо или влево) блоха выбирает самостоятельно. Может ли так случиться, что блоха рано или поздно побывает в каждой натуральной точке (возможно, побывав в некоторых точках больше, чем по разу)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66151

Темы:   [ Доказательство от противного ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На доске написаны  n > 3  различных натуральных чисел, меньших чем  (n – 1)!.  Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил  100 = 14·7 + 2  и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 118]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .